Dreieck

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Dieser Artikel behandelt den geometrischen Begriff Dreieck. Fur weitere Bedeutungen siehe Dreieck (Begriffsklarung).

right|framed|Ein Dreieck mit den ublichen Bezeichnungen mit Teilen eines Ankreises

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der Euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten. In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet mal als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist moglich.

Table of contents

1 Das beliebige (allgemeine) Dreieck

1.1 Definition und Eigenschaften
1.2 Berechnung eines beliebigen Dreiecks

2 Dreiecksarten

2.1 Ubersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken
2.2 Das gleichseitige Dreieck

2.2.1 Eigenschaften
2.2.2 Formeln

2.3 Das gleichschenklige Dreieck

2.3.1 Eigenschaften

2.4 Das rechtwinklige Dreieck

2.4.1 Eigenschaften

3 Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

3.1 Spharische Dreiecke
3.2 Hyperbolische Dreiecke

4 Oft auftretende Dreiecksgrossen

5 Satze rund um das Dreieck

6 Weblinks

Das beliebige (allgemeine) Dreieck

Definition und Eigenschaften

Ein Dreieck wird von drei Geraden, die nicht parallel zueinander liegen, eingeschlossen. Es ist durch seine drei Eckpunkte definiert, die gleichzeitig die Schnittpunkte dieser drei Geraden sind, und durch drei die Eckpunkte geradlinig verbindende Seiten 'aufgespannt'. Daneben ist der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel eine wichtige Grosse zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet. Die Seite, die einer Ecke gegenuberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z.B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenuber, verbindet also die Punkte B und C. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, usw.

Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck betragt immer 180Â°.
Die Summe der Aussenwinkel betragt betragt entsprechend 360Â°. Dabei wird fur jeden Eckpunkt nur ein Aussenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Aussenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer identisch gross. Die Summe aller Aussenwinkel betragt demnach genau genommen 2 Â· 360Â° = 720Â°.
Die Summe zweier Seiten eines Dreieck ist immer grosser als die dritte Seite. Diese Beziehungen lassen sich in den sogenannten Dreiecksungleichungen ausdrucken.

Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten S bzw. Winkel W), kann man die 3 fehlenden Angaben berechnen. Die 5 Auflosungsfalle werden symbolisch bezeichnet: SSS, SSW, SWS, SWW, WSW.

Der 6. Fall WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht losbar, weil es de facto nur 2 Angaben sind, denn uber die Winkelsumme im Dreieck (α+β+γ = 180Â°) lasst sich aus zwei bekannten Winkeln immer der andere bestimmen. Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben, seine Grosse bleibt aber offen.

Fur Berechnungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusatzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und Halbwinkelsatze.

Den Sinussatz gibt es in 3 Varianten, von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt:

frac{a}{sin(alpha)} = frac{b}{sin(eta)} = frac{c}{sin(gamma)}

Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des 'Pythagoras', mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cdot cos (alpha)

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cdot cos (eta)

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cdot cos (gamma)

Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so betragt der Winkel γ 90Â°. Damit gilt: $cos(gamma)=cos(90^circ)=0 .
Fur ein rechtwinkliges Dreieck gilt somit die Formel$

c^2 = a^2 + b^2

right|allgemeines Dreieck

Umfang:	$u = 8rcdot cosleft( frac{alpha}{2} ight) cdot cos left(frac{eta}{2} ight) cdot cos left( frac{gamma}{2} ight)$
Inkreisradius:	$ho =4rcdot sin left(frac{alpha}{2} ight) cdot sin left(frac{eta}{2} ight) cdot sin left(frac{gamma}{2} ight)$
Umkreisradius:	$r= frac{a}{2 sin(alpha)}= frac{b}{2 sin (eta)}= frac{c}{2 sin (gamma)}$
Hohenformeln:	$h_a = ccdotsin (eta) = bcdot sin (gamma)$
	$h_b = acdot sin (gamma) = ccdot sin (alpha)$
	$h_c = bcdot sin (alpha) = acdot sin (eta)$
Flacheninhalt:	$A = frac{1}{2},a h_a = frac{1}{2},b h_b = frac{1}{2},c h_c$

Dreiecksarten

Ubersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken

Dreiecksarten	unregelmassig Kein Winkel und keine Seite sind gleichgross.	gleichschenklig Zwei Seiten und zwei Winkel sind gleichgross	gleichseitig Alle Winkel und Seiten sind gleichgross.
spitzwinklig Alle Winkel sind spitze Winkel, d.h. alle Winkel sind <90Â°.	allgemeines spitzwinkliges Dreieck	gleichschenkliges spitzwinkliges Dreieck	Gleichseitiges Dreieck
rechtwinklig Ein Winkel ist ein rechter Winkel.	allgemeines rechtwinkliges Dreieck	gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck	nicht in der Ebene moglich, da dort die Winkelsumme 180Â° sein muss. Aber als Dreieck auf einer Kugelflache moglich.
stumpfwinklig Ein Winkel ist ein stumpfer Winkel (>90Â°).	allgemeines stumpfwinkliges Dreieck	gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck	in der Ebene unmoglich

Das gleichseitige Dreieck

right|200px|Gleichseitiges Dreieck

Eigenschaften

Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich gross. Aus diesem Grund gehort das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmassigen Polygonen.
Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks betragt 60Â°.
Das gleichseitige Dreieck zahlt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90Â° sind.
Ausserdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ahnlich.
Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Hohe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt fur den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Hohenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Formeln

Die Seitenlange des gleichseitigen Dreiecks wird mit a bezeichnet.

Flache A	$A = frac{sqrt{3}}{4}a^{2}$
Hohe h	$h = frac{sqrt{3}}{2}a$
Umkreisradius r	$r = frac{sqrt{3}}{3}a=frac{1}{sqrt{3}}a$
Inkreisradius ρ	$ho = frac{sqrt{3}}{6}a$
Umfang u	$u = 3*a$

Das gleichschenklige Dreieck

thumb|300px|Links ein gleichschenkliges, rechts ein gleichseitiges Dreieck

Eigenschaften

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und die jeweils gegenuber liegenden Winkel gleich gross.
Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
Die gleich grossen Winkel, die den Schenkeln gegenuber liegen, heissen Basiswinkel.
Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Hohe zur Basis identisch.
Das gleichseitige Dreieck lasst sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.
Man kann die Hohe nur bestimmen, wenn man das Dreieck teilt und so den Satz des Phytagoras anwenden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

Eigenschaften

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90Â°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
Die langste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenuber und wird Hypotenuse genannt.
Die beiden anderen Seiten heissen Katheten.

Satz des Pythagoras	$c^2 = a^2 + b^2$	Bild:Hohensatzbeweis.png
Kathetensatz von Euklid	$a^2 = c*p$
Kathetensatz von Euklid	$b^2 = c*q$
Hohensatz von Euklid	$h^2 = p*q$

Bei Kenntnis zwei der Angaben (a, b, c, p, q und h) lassen sich die fehlenden 3 anderen Werte aus den, in der Tabelle aufgefuhrten Formeln berechnen.

Die Langen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Lange der Hypotenuse (in der Grafik als c bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Langen der Katheten (a und b).

In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenuberliegende Kathete. Durch das Verhaltnis zwischen Katheten und Hypotenuse lasst sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen. right|300px|Rechtwinkliges Dreieck mit den rechten Winkel im Punkt C

Funktion	Berechnung
Der Sinus des Winkels Î± ist dabei als das Verhaltnis zwischen der Gegenkathete (hier: a) und der Hypotenuse (hier: c) definiert.	$sin alpha = frac{a}{c}$
Der Kosinus des Winkels Î± ist das Verhaltnis zwischen der Ankathete (hier: b) und der Hypotenuse.	$cos alpha = frac{b}{c}$
Der Tangens ist durch das Verhaltnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben.	$an alpha = frac{a}{b}$
Der Kotangens ist das Verhaltnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens.	$cot alpha = frac{b}{a} = frac{1}{ an alpha}$
Der Sekans ist das Verhaltnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus.	$sec alpha = frac{c}{b} = frac{1}{cos alpha}$
Der Kosekans ist das Verhaltnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus.	$csc alpha = frac{c}{a} = frac{1}{sin alpha}$

Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die gelaufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

Spharische Dreiecke

Dreiecke auf der Kugel nennt man spharisch, wobei die 3 Seiten Teile von Grosskreisen sind. Ihre Seitenlange wird nicht in der Dimension einer Lange angegeben (Meter, cm usw.), sondern als zugehoriger Winkel im Kugelmittelpunkt. right|200px|Spharisches Dreieck (Kugeldreieck)

Ein spharisches Dreieck hat eine Winkelsumme grosser als 180Â°, wobei der 'Uberschuss' spharischer Exzess heisst und in Formeln meist als ε bezeichnet wird: $alpha + eta + gamma = 180^circ + epsilon .$

Der Exzess hangt direkt mit dem Flacheninhalt des Dreiecks zusammen (ε = F / RÂ² , bzw. in Grad ε = 180Â°.F / RÂ²π), worin R den Kugelradius und π die Kreiszahl 3,14159... bedeutet.
Der maximale Exzess von 360Â° tritt beim grosstmoglichen 'Dreieck' auf, das die halbe Kugeloberflache umspannt: mit 3 gestreckten Winkeln hat es eine Winkelsumme von 3 mal 180Â° und ε = 540Â° - 180Â° = 360Â°.

Spharische Dreiecke konnen analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofur es z.B. den sparischen Sinussatz, den Cosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsatze gibt - siehe Spharische Trigonometrie. right|200px|Spharisches Zweieck

Spharisches Zweieck: fur manche Berechnungen auf der Sphare - z.B. auf der Himmelskugel - sind auch Zweiecke nutzlich. Die Formeln ergeben sich als Sonderfall des Dreiecks.

Hyperbolische Dreiecke

right|220px|Sattelflache und geodatisches Dreieck Zur nichteuklidischen Geometrie - in der das Parallelen-Axiom nicht gilt - zahlen z.B. auch Dreiecke auf einer Sattelflache. Wahrend eine Kugel uberall konvex gekrummt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flachen sowohl konvexe als auch konkave Krummung (ihr Produkt, das Krummungsmass, ist negativ).

Entsprechend ist auch der Exzess negativ - d.h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelflache ist kleiner als 180Â°.

---

Die Kongruenzsatze machen Aussagen uber die Dreiecksgrossen (Seitenlange, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.
In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrossen

die Flache
die Hohen
die Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten)
die Winkelsymmetralen (Winkelhalbierenden)
die Seitenhalbierenden
der Inkreis
der Umkreis

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete oder merkwurdige Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Satze rund um das Dreieck

Kongruenzsatze
Thaleskreis
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
Sudpolsatz
Sinussatz
Satz des Pythagoras, Kosinussatz
Satz von Menelaos
Satz von Ceva
Satz von Stewart
Satz des Heron (Flache aus drei Seiten berechnen)
Eulersche Gerade
Feuerbachkreis
Simsonsche Gerade
Symmedianen und Lemoinepunkt
Trigonometrie

Weblinks

Bilder verschiedener Dreiecksarten (http://www.zum.de/dwu/mdl001vs.htm)
Ein weiteres Programm zur Dreiecksberechnung (http://www.arstechnica.de/computer/JavaScript/dreieck.html)
Java-Applet zur Veranschaulichung einiger Punkte im Dreieck (http://www.ginko.de/user/burki/java/java2/Dreiecke.htm)

Kategorie:Dreiecksgeometrie

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